Question

（滿分12分）設f (x) 是定義在 [－1,1] 上的偶函數，f (x) 與g(x) 的圖象關于x =" 1" 對稱，且當x Î [2,3] 時，g(x) = a (x－2)－2 (x－2) ³（a 為常數）.
(Ⅰ)求f (x) 的解析式；
(Ⅱ)若f (x) 在 [0,1] 上是增函數，求實數a 的取值范圍；
(Ⅲ)若a Î (－6,6)，問能否使f (x) 的最大值為 4？請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) f (x) =
(Ⅱ) a≥6，即aÎ [6,+¥)
(Ⅲ)當aÎ (－6,6) 時，f (x) 的最大值不可能為 4   

(I) ∵    f (x) 與g(x) 的圖象關于直線x =" 1" 對稱，
∴    f (x) = g(2－x) ．                  1分
∴    當xÎ [－1,0] 時，2－xÎ [2,3]，
∴    f (x) = g(2－x) = －ax + 2x ³   ．    2分
又∵      f (x) 為偶函數，
∴    xÎ [0,1] 時，－xÎ [－1,0]，
∴    f (x) = f (－x) = ax－2x ³．         3分
∴    f (x) =    ．  4分
(II)   ∵    f (x) 為 [0,1] 上的增函數，
∴    f’(x) = a－6x ²≥0 Þa≥6x ² 在區間 [0,1] 上恒成立.         6分
∵    xÎ [0,1] 時，6x ²≤6 ，      7分
∴    a≥6，即aÎ [6,+¥) .     8分
(III)  由f (x) 為偶函數，故只需考慮xÎ [0,1]，
由f’(x) =" 0" 得x = ，  9分
由f () =" 4" Þa =" 6" ，     10分
此時x = 1，       11分
當aÎ (－6,6) 時，f (x) 的最大值不可能為 4 .     12分