Question

以下四個命題，是真命題的有

 

（把你認為是真命題的序號都填上）．
①若p：f（x）=lnx-2+x在區間（1，2）上有一個零點；q：e^0.2＞e^0.3，則p∧q為假命題；
②當x＞1時，f（x）=x²，g（x）=x

1

2

，h（x）=x^-2的大小關系是h（x）＜g（x）＜f（x）；
③若f′（x₀）=0，則f（x）在x=x₀處取得極值；
④若不等式2-3x-2x²＞0的解集為P，函數y=

x+2

+

1-2x

的定義域為Q，則“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件．

Answer 1

分析：由函數零點的存在定理我們易判斷p的真假，再根據指數函數的單調性判斷q的真假，進而根據復合命題的真假判斷方法確定①的對錯；使用數形結合法判斷②；舉出反例，可說明③是錯誤的；通過判斷集合P與Q的關系，根據誰小誰充分，誰大誰必要可以判斷充要條件．

解答：解：對于命題①，∵f（1）=ln1-2+1=-1＜0，f（2）=ln2-2+2=ln2＞0
又∵f（x）在（1，2）上為增函數，
故f（x）在（1，2）上有一個零點，即命題p為真；
∵y=e^x為增函數，
∴e^0.2＜e^0.3，故命題q為假，
∴p∧q為假命題；
對于命題②，在同一個坐標系內作出三個函數的圖象有：

由函數圖象可知當x＞1時，有h（x）＜g（x）＜f（x）；
對于命題③，令f（x）=x³，則有f′（0）=0，
但x=0不是f（x）的極值點，故該命題錯誤；
對于命題④，由題意得P={x|-2＜x＜

1

2

}，又由

x+2≥0 1-2x≥0

得Q={x|-2≤x≤

1

2

}，所以P?Q，所以x∈P是x∈Q的充分不必要條件．
故答案：①②④

點評：本題考查的和知識點是復合函數的真假判斷，函數的零點，指數函數的單調性，冪函數的性質，利用導數求函數的極值，充要條件的判定等知識點，根據上述知識點，對題目中四個結論逐一進行判斷即可得到結論．