Question

本小題滿分12分）
今有一長2米寬1米的矩形鐵皮，如圖，在四個角上分別截去一個邊長為x米的正方形后，沿虛線折起可做成一個無蓋的長方體形水箱(接口連接問題不考慮)．

(Ⅰ)求水箱容積的表達式，并指出函數的定義域；
(Ⅱ)若要使水箱容積不大于立方米的同時，又使得底面積最大，求x的值．

Answer 1

(1) {x|0＜x＜} (2)

試題分析：解：(Ⅰ)由已知該長方體形水箱高為x米，底面矩形長為(2－2x)米，寬(1－2x)米．
∴該水箱容積為
f(x)＝(2－2x)(1－2x)x＝4x³－6x²＋2x. ………………………4分
其中正數x滿足∴0＜x＜.
∴所求函數f(x)定義域為{x|0＜x＜}．………………………6分
(Ⅱ)由f(x)≤4x³，得x ≤ 0或x ≥，
∵定義域為{x|0＜x＜}，∴ ≤ x＜.………………………8分
此時的底面積為S(x)＝(2－2x)(1－2x)＝4x²－6x＋2
(x∈[，))．由S(x)＝4(x－)²－，………………………10分
可知S(x)在[ ，)上是單調減函數，
∴x＝.即滿足條件的x是.………………………12分
點評：對于實際運用題，要準確的審清題意，并能抽象出函數關系式，然后結合分段函數的性質來分析定義域和單調性，以及求解最值的問題。注意實際問題中，變量的范圍確定，要符合實際意義，屬于中檔題。