Question

如圖，已知直角梯ACDE所在的平面垂直于平ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（Ⅰ）P是線段BC中點，證明DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中點F，連接DP、PF、EF，利用三角形的中位線定理可得FP∥AC，FP=

1

2

AC．取AC的中點M，連接EM、EC，可得△EAC是正三角形，得到EM⊥AC．利用四邊形EMCD為矩形，可得ED=MC=

1

2

AC．得到ED∥AC，得到四邊形EFPD是平行四邊形．利用線面平行的判定定理即可證明．
（II）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取AB的中點F，連接DP、PF、EF，則FP∥AC，FP=

1

2

AC．
取AC的中點M，連接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四邊形EMCD為矩形，∴ED=MC=

1

2

AC．
又∵ED∥AC，
∴ED∥FP且ED=FP，四邊形EFPD是平行四邊形．
∴DP∥EF，而EF?平面EAB，DP?平面EAB，∴DP∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面EACD平面ABC，
∴以點A為原點，直線AB為x軸，直線AC為y軸，建立空間直角坐標系A-xyz，則z軸在平面EACD內（如圖）．設AB=AC=AE=2，由已知，得B（2，0，0），E(0，1，

3

)，D(0，2，

3

)．
∴

EB

=(2，-1，-

3

)，

ED

=（0，1，0），
設平面EBD的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • EB =2x-y- 3 z=0 n • ED =y=0

，取z=2，得平面EBD的一個法向量為

n

=(

3

，0，2)．
又∵平面ABC的一個法向量為

m

=（0，0，1）．
∴cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m | | n |

=

2

7

=

2 7

7

．

點評：本題考查了三角形的中位線定理可、正三角形的定義域性質、矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、先面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角可得二面角的余弦值等基礎知識與基本技能方法，考查了空間想象能力、推理能力，屬于難題．