Question

【題目】已知函數滿足，，．

（1）求函數的解析式；

（2）求函數的單調區間；

（3）當且時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，函數的單調遞增區間為，

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由已知中，可得，進而可得，，進而得到函數的解析式；

（2）由（1）得：，即，，對a進行分類討論，可得不同情況下函數的單調區間；

（3）令，，然后利用導數研究各自單調性，結合單調性分類去掉和的絕對值，再構造差函數，利用導數證明大小.

（1）∵，

∴，

∴，

即，

又∵，

所以，

所以；

（2）∵，
∴，

∴，

①當時，恒成立，函數在R上單調遞增；

②當時，由得，

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

綜上，當時，函數的單調遞增區間為，

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（3）令，，當且時，

由得在上單調遞減，

所以當時，，當時，，

而，，

所以在上單調遞增，，

則在上單調遞增，，

①當時，，

，所以在上單調遞減，

，，

②當時，，

，，

所以，所以遞減，，，

綜上， ．