Question

如圖，A、B是單位圓O上的點，C、D分別是圓O與x軸的兩個交點，△ABO為正三角形．
（1）若點A的坐標為(

3

5

，

4

5

)，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜

2π

3

），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據△ABO為正三角形求得∠BOA，利用點A的坐標求得sin∠AOC和cos∠AOC，進而利用兩角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分別求得AC和BD，進而根據△ABO為正三角形求得AB，CD可知，四邊相加得到y的函數解析式，利用兩角和公式化簡整理后，利用x的范圍和正弦函數的性質求得函數的最大值．

解答：解：（1）∵△ABO為正三角形
∴∠BOA=60°
∵點A的坐標為(

3

5

，

4

5

)
∴tan∠AOC=

4

3

，
∴sin∠AOC=

4

5

，cos∠AOC=

3

5

∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°-sin∠AOCsin60°=

3-4 3

10

；

（2）由余弦定理可知AC=

1+1-2cosx

=2sin

x

2

，BD=

1+1-2cos(π-x- π 3 )

=2sin（

π

3

-

x

2

），
AB=OB=1，CD=2，
∴y=2sin

x

2

+2sin(

π

3

-

x

2

)+3
=2sin

x

2

+

3

cos

x

2

-sin

x

2

+3
=sin

x

2

+

3

cos

x

2

+3
=2sin(

x

2

+

π

3

)+3，0＜x＜

2π

3

∴當x=

π

3

時，y_max=5

點評：本題主要考查了三角函數的最值，數學模型的應用．考查了學生分析問題和解決問題的能力．