Question

【題目】已知數（其中）.

（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）求函數的反函數

（3）若兩個函數與在區間上恒滿足，則函數與在閉區間上是分離的．試判斷的反函數與在閉區間上是否分離？若分離，求出實數的取值范圍；若不分離，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數，理由見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）求出函數的定義域，然后利用定義可判斷出函數的奇偶性；

（2）由（1）得，將兩個等式化為指數式，可解出，即可得出函數的解析式，并求出函數的值域，作為函數的定義域；

（3）根據函數與在閉區間上分離得出不等式在區間上恒成立，令，得出，利用函數在區間上的最小值可解出實數的取值范圍.

（1）對任意的，，則對任意的恒成立，

則函數的定義域為，關于原點對稱，

又，

，，

因此，函數為奇函數；

（2）設，當時，，此時，

當時，，則，

所以，函數的值域為.

由（1）可得，

將上述兩個等式化為指數式得，解得.

因此，；

（3）假設函數與在閉區間上分離，則，

即，整理得，即在區間上恒成立，

令，則，設，

，則函數在區間上單調遞增，

所以，函數在區間上的最小值為，由題意得，

即，，解得，

因此，實數的取值范圍是.