Question

【題目】選修4—5: 不等式選講

已知函數f(x)＝ 的定義域為R.

(Ⅰ)求實數m的取值范圍；

(Ⅱ)若m的最大值為n，當正數a，b滿足 ＝n時，求7a＋4b的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)

【解析】試題分析：（1）由函數定義域為R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，設函數g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用絕對值不等式的性質求出其最小值即可；

（2）由（1）知n=4，變形7a+4b=，利用基本不等式的性質即可得出．

試題解析：

(Ⅰ)由題意可知：＋－m≥0對任意實數恒成立．

設函數g(x)＝＋，則m不大于函數g(x)的最小值．

又＋≥＝4.即g(x)的最小值為4，所以m≤4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，

∴7a＋4b＝＝

＝≥＝.

當且僅當a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝時，等號成立．所以7a＋4b的最小值為.