Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）證明數列{a_n-n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）證明不等式S_n+1≤4S_n，對任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題設a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，所以數列{a_n-n}是首項為1，且公比為4的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，于是數列{a_n}的通項公式為a_n=4^n-1+n．
所以數列{a_n}的前n項和Sn=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）證明：對任意的n∈N^*，Sn+1-4Sn=

4n+1-1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-4(

4n-1

3

+

n(n+1)

2

)=-

1

2

(3n2+n-4)≤0．
所以不等式S_n+1≤4S_n，對任意n∈N^*皆成立．