Question

（本大題滿分13分）設函數是定義域在上的單調函數，且對于任意正數有，已知.
（1）求的值；
（2）一個各項均為正數的數列滿足：，其中是數列的前n項的和，求數列的通項公式；
（3）在（2）的條件下，是否存在正數，使 對一切成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）-1；
（2）；
（3）存在正數，使所給定的不等式恒成立，的取值范圍為

（1）∵，令，有，∴.
再令，有，∴，∴ …4分
（2）∵,
又∵是定義域上單調函數，∵，，
∴      ……①
當時，由，得，當時，  ……②
由①－②，得，
化簡，得　，∴，
∵，∴，即，∴數列為等差數列. ，公差.
∴，故. ………… 8分
（3）∵，
令=,
而. 
∴=，
∴，數列為單調遞增函數，由題意恒成立，則只需=，
∴ ，存在正數，使所給定的不等式恒成立，的取值范圍為.