Question

     已知f(x)=+a為奇函數.
(1)求a的值；
(2)求函數的單調區間.

Answer 1

(1)∵f(-x)=+a=+a=-1+a-=-1+2a-f(x)，
由f(-x)=-f(x)，得-1+2a=0，∴a=.
(2)對于任意x₁≠0，x₂≠0，且x₁<x₂，
f(x₁)-f(x₂)=,
當x₁<x₂<0時，>，<1, <1,
∴f(x₁)-f(x₂)>0；
當0<x₁<x₂時，>，>1，>1,
∴f(x₁)-f(x₂)>0.
∴函數的單調遞減區間為(-∞，0)，(0，+∞).

 本題容易出現以下錯誤：
(1)誤認為函數y=a^2x+2a^x-1在x∈［-1，1］上就是單調增函數，據此得x=1時函數有最大值14，列方程解出a.
(2)令t=a^x，x∈［-1，1］，不討論0＜a＜1還是a＞1，就認為t的取值范圍是［a^-1，a］，由此作為外層函數的定義域引出錯誤.