Question

(本小題滿分12分)

如圖，已知直線l與拋物線相切于點P(2，1)，且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）.

（I） 若動點M滿足，求點M的軌跡C；

（II）若過點B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

Answer 1

(本小題滿分12分)

解：（I）由，∴直線l的斜率為，………1分

故l的方程為，∴點A坐標為（1，0） ……………………………… 2分

設    則，

由得

整理，得    ……………………………………………………4分

∴點M的軌跡為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓 … 5分

   （II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設l方程為y=k(x－2)(k≠0)①

將①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<.   設E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)

則 ②     ………………………………………………………7分

令，由此可得

由②知

     …………………………10分

.∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）…12分.