Question

給出定義：若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f′（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在D上也可導(dǎo)，則稱f（x）在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f′（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在（0，

π

2

）上不是凸函數(shù)的是

 

．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）
①f（x）=sin x+cos x；
②f（x）=ln x-2x；
③f（x）=-x³+2x-1；
④f（x）=xe^x．

Answer 1

分析：①由f″（x）=-（sinx+cosx）且x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；符合定義
對(duì)于②，f″（x）=-

1

x2

，且在x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；符合定義
對(duì)于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；符合定義
對(duì)于④，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，

π

2

）時(shí)f″（x）＞0恒成立，不符合定義

解答：解：對(duì)于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，

π

2

）時(shí)，
f″（x）＜0恒成立；
對(duì)于②，f″（x）=-

1

x2

，在x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；
對(duì)于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；
對(duì)于④，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，

π

2

）時(shí)f″（x）＞0恒成立，
所以f（x）=xe^x不是凸函數(shù)．
故答案為：④

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)新定義函數(shù)來(lái)考查已有的知識(shí)的運(yùn)用即恒成立問(wèn)題．