Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PA與⊙O相切于點A，PBC為⊙O的割線，弦CD∥AP，AD與BC相交于點E，F為CE上一點，且DE²=EF•EC
（I）求證：A、P、D、F四點共圓
（II）若AE=6，DE=EB=4，求PA的長．

Answer 1

分析：（I）先證明△DEF～△CED，進而結合CD∥AP，利用相似三角形性質，得到∠P=∠EDF，由圓內接四邊形判定定理得到A、P、D、F四點共圓；
（II）由（I）中的結論，結合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=，結合已知條件，可求出PB，PC的長，代入切割線定理，即可求出PA的長．

解答：（I）證明：∵DE²=EF•EC，∴

DE

EC

=

EF

DE

，
∵∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∴∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
∴∠P=∠EDF，∴A，P，D，F四點共圓；
（II）解：∵弦AD、BC相交于點E，∴DE•EA=CE•EB
∵AE=6，DE=EB=4，∴EC=6
∵DE²=EF•EC，∴EF=

8

3

由（Ⅰ）及相交弦定理得PE•EF=AE•ED，∴PE=9
∴PB=5，PC=15
∴PA²=PB•PC=75，即PA=5

3

．

點評：本題考查的知識點是與圓有關的比例線段，圓內接四邊形的判定定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．