Question

【題目】平面四邊形中， , 為等邊三角形，現將沿翻折得到四面體，點分別為的中點.

（Ⅰ）求證：四邊形為矩形；

（Ⅱ）當平面平面時，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析 （Ⅱ）

【解析】【試題分析】（1）先運用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質及線面垂直的判定定理證明，進而證明，從而證明四邊形為矩形；（2）先依據題設條件及面面垂直的性質定理證明平面，再建立空間直角坐標系，運用空間向量的數量積公式求出平面的一個法向量.進而求出直線與平面所成角的正弦值：

解：（Ⅰ）∵點分別為的中點，

∴且，

∴四邊形為平行四邊形.

取的中點，連結.

∵為等腰直角三角形， 為正三角形，

∴,

∴平面.

又∵平面，∴，

由且可得，

∴四邊形為矩形.

（Ⅱ）由平面

分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

依題意，設，則，

∴.

設為平面的一個法向量，則有

令，則.

∴直線與平面所成角的正弦值

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