Question

【題目】如圖所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE， ，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分別為DE，AD中點(diǎn)．

（1）證明：平面MNC⊥平面BCDE；
（2）若EC⊥CD，點(diǎn)P為棱AD的三等分點(diǎn)（近A），平面PMC與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ，求棱AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)BM，ON，

由題意四邊形BMDC是菱形，∴O是BD中點(diǎn)，

∵N是AD中點(diǎn)，∴ON∥AB，

∵AB⊥BC，平面ABC⊥平面BCDE，∴AB⊥平面BCDE，

∴ON⊥平面BCDE，

∵ON平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCDE

（2）解：以C為原點(diǎn)，CE為x軸，CD為y軸，過C作平面BCDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)A（ ，﹣1，t），（t＞0）由題意D（0，2，0），P（ ，0， ），E（2 ，0，0），

D（0，2，0），M（ ），B（ ，0），C（0，0，0），

=（ ，0， ）， =（ ）， =（ ，0）， =（ ），

設(shè)平面PMC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 =（ ，﹣3，﹣ ），

設(shè)平面ABC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a= ，得 =（ ，0），

∵平面PMC與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ，

∴|cos＜ ＞|= = = ，解得t=3．

∴棱AB的長(zhǎng)度為3．

【解析】（1）連結(jié)BM，ON，推導(dǎo)出ON∥AB，AB⊥平面BCDE，從而ON⊥平面BCDE，由此能證明平面MNC⊥平面BCDE．（2）以C為原點(diǎn)，CE為x軸，CD為y軸，過C作平面BCDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出棱AB的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．