Question

【題目】已知三棱錐中， ， 為的中點， 為的中點，且為正三角形.

（1）求證： 平面；

（2）若，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據正三角形三線合一，可得，利用三角形中位線定理及空間直線夾角的定義可得，由線面垂直的判定定理可得平面，即，再由結合線面垂直的判定定理可得平面；（2）記點到平面的距離為，則有，分別求出的長，及和面積，利用等積法可得答案.

試題解析：（1）證明：如圖，∵為正三角形，且為的中點，

∴.

又∵為的中點， 為的中點，

∴,∴.

又已知,

∴平面,∴.

又∵,

∴平面.

（2）解：法一：記點到平面的距離為，則有

∵ ∴，

又,∴，

∴，又，∴，

在中， ，又∵，

∴，

∴，∴

即點到平面的距離為.

法二：∵平面平面且交線為，過作，則平面， 的長為點到平面的距離；

∵，∴，又，∴，∴.

又，

∴，

∴，即點到平面的距離為.

【方法點晴】本題主要考查的是線面垂直、棱錐的體積公式以及“等積變換”的應用，屬于中檔題．解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現錯誤．證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線．