Question

【題目】如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分別在線段BC，AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起，記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.

(1)在線段BC是否存在一點E，使得ND⊥FC ，若存在，求出EC的長并證明；

若不存在，請說明理由．

(2)求四面體NEFD體積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）EC＝3時符合；連接ED，交FC于點O，先證明FC⊥平面NED，再證明ND⊥FC.(2) 設NE＝x，則FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，再求出，再利用基本不等式求四面體NEFD體積的最大值.

（1）證明：EC＝3時符合；連接ED，交FC于點O，如圖所示．

∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.

∵FC平面ECDF，∴FC⊥NE.

∵EC＝CD，∴四邊形ECDF為正方形，∴FC⊥ED.

又∵ED∩NE＝E，ED，NE平面NED，

∴FC⊥平面NED.

∵ND平面NED，∴ND⊥FC.

(2)設NE＝x，則FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，

由(1)得NE⊥平面FEC，

∴四面體NEFD的體積為，

所以，

當且僅當x＝4－x，即x＝2時，四面體NEFD的體積最大，最大值為2