Question

（2011•西城區(qū)一模）已知{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，且a₁+2a₂=3a₃．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）設(shè){b_n}是首項(xiàng)為2，公差為q的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為T_n．當(dāng)n≥2時(shí)，試比較b_n與T_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²，因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，所以3q²-2q-1=0．由此能求出q的值．
（Ⅱ）當(dāng)q=1時(shí)，b_n=n+1，Tn=

n2+3n

2

，Tn-bn=

n2+n-2

2

＞0．故當(dāng)q=1時(shí)，T_n＞b_n（n≥2）．當(dāng)q=-

1

3

時(shí)，bn=2+(n-1)(-

1

3

)=

7-n

3

，Tn=2n+

n

2

(n-1)(-

1

3

)=

13n-n2

6

，Tn-bn=-

(n-1)(n-14)

6

，由此分類討論能比較b_n與T_n的大小．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²，…（2分）
因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，所以3q²-2q-1=0．…（3分）
解得q=1或q=-

1

3

．…（5分）
（Ⅱ）①當(dāng)q=1時(shí)，b_n=n+1，
Tn=

n2+3n

2

，…（7分）
所以，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn-bn=

n2+n-2

2

＞0．
即當(dāng)q=1時(shí)，T_n＞b_n（n≥2）．…（8分）
②當(dāng)q=-

1

3

時(shí)，bn=2+(n-1)(-

1

3

)=

7-n

3

，…（9分）
Tn=2n+

n

2

(n-1)(-

1

3

)=

13n-n2

6

，…（10分）
Tn-bn=-

(n-1)(n-14)

6

，…（12分）
所以，當(dāng)n＞14時(shí)，T_n＜b_n；
當(dāng)n=14時(shí)，T_n=b_n；
當(dāng)2≤n＜14時(shí)，T_n＞b_n．…（13分）
綜上，當(dāng)q=1時(shí)，T_n＞b_n（n≥2）．
當(dāng)q=-

1

3

時(shí)，若n＞14，T_n＜b_n；
若n=14，T_n=b_n；
若2≤n＜14，T_n＞b_n．

點(diǎn)評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生合理運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解題．本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．