Question

(12分)集合A是由具備下列性質的函數f(x)組成的：
①函數f(x)的定義域是[0，＋∞)；
②函數f(x)的值域是[－2,4)；
③函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數，試分別探究下列兩小題：
(1)判斷函數f₁(x)＝－2(x≥0)及f₂(x)＝4－6·^x(x≥0)是否屬于集合A？并簡要說明理由；
(2)對于(1)中你認為屬于集合A的函數f(x)，不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)是否對于任意的x≥0恒成立？若不成立，為什么？若成立，請說明你的結論．

Answer 1

解：(1)函數f₁(x)＝－2不屬于集合A.因為f₁(x)的值域是[－2，＋∞)，所以函數f₁(x)＝－2不屬于集合A.f₂(x)＝4－6·^x(x≥0)在集合A中，因為：①函數
f₂(x)的定義域是[0，＋∞)；②f₂(x)的值域是[－2,4)；③函數f₂(x)在[0，＋∞)上是增函數．
(2)∵f(x)＋f(x＋2)－2f(x＋1)＝6·^x<0，
∴不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)對任意的x≥0恒成立．

略