Question

已知函數（為常數，為自然對數的底）
（1）當時，求的單調區間；
（2）若函數在上無零點，求的最小值；
（3）若對任意的，在上存在兩個不同的使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）的減區間為，增區間為；
（2）的最小值為；
（3）的取值范圍是.

試題分析：（1）將代入函數的解析式，利用導數求出的單調遞增區間和遞減區間；（2）將函數在上無零點的問題轉化為直線與曲線在區間上無交點，利用導數確定函數在區間上的圖象，進而求出參數的取值范圍，從而確定的最小值；（3）先研究函數在上的單調性，然后再將題干中的條件進行適當轉化，利用兩個函數的最值或端點值進行分析，列出相應的不等式，從而求出的取值范圍.
試題解析：（1）時，
由得    得
故的減區間為 增區間為             3分
（2）因為在上恒成立不可能
故要使在上無零點，只要對任意的，恒成立
即時，                      5分
令
則
再令
   于是在上為減函數
故
在上恒成立
在上為增函數
 在上恒成立
又
故要使恒成立，只要
若函數在上無零點，的最小值為           8分
（3）
當時，，為增函數
當時，，為減函數

函數在上的值域為                      9分
當時，不合題意
當時，
故
①                                     10分
此時，當變化時，，的變化情況如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

時，，

任意定的，在區間上存在兩個不同的 
使得成立，
當且僅當滿足下列條件
即  ②
即  ③                    11分
令
 令得
當時， 函數為增函數
當時， 函數為減函數
所以在任取時有
即②式對恒成立                      13分
由③解得  ④
由①④ 當時
對任意，在上存在兩個不同的使成立