Question

【題目】已知函數f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（0，1）∪（9，+∞）
【解析】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
作出函數y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的圖象，
當a≤0，兩個函數的圖象不可能有4個交點，不滿足條件，
則a＞0，此時g（x）=a|x﹣1|= ，
當﹣3＜x＜0時，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），
當直線和拋物線相切時，有三個零點，
此時﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），
即x2+（3﹣a）x+a=0，
則由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，
當a=9時，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此時不成立，∴此時a=1，
要使兩個函數有四個零點，則此時0＜a＜1，
若a＞1，此時g（x）=﹣a（x﹣1）與f（x），有兩個交點，
此時只需要當x＞1時，f（x）=g（x）有兩個不同的零點即可，
即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，
則由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
綜上a的取值范圍是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
若x=1，則4=0不成立，
故x≠1，
則方程等價為a= = =| |=|x﹣1+ +5|，
設g（x）=x﹣1+ +5，
當x＞1時，g（x）=x﹣1+ +5≥ ，當且僅當x﹣1= ，即x=3時取等號，
當x＜1時，g（x）=x﹣1+ +5 =5﹣4=1，當且僅當﹣（x﹣1）=﹣ ，即x=﹣1時取等號，
則|g（x）|的圖象如圖：
若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4個互異的實數根，
則滿足a＞9或0＜a＜1，
所以答案是：（0，1）∪（9，+∞）