Question

（本小題滿分15分）
如圖，某小區有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數）的圖象，且點M到邊OA距離為．

（1）當時，求直路所在的直線方程；
（2）當t為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？

Answer 1

（1）；（2），。

解析試題分析：（1）
（2），過切點M的切線
即，令得，故切線與AB交于點；
令，得，又在遞減，所以
故切線與OC交于點。
地塊OABC在切線右上部分區域為直角梯形，
面積，等號，。
考點：本題主要考查函數模型，導數的幾何意義，導數的應用，均值定理的應用。
點評：中檔題，注意仔細審題。運用導數的幾何意義，求切線方程屬于簡單題，解題的關鍵是建立面積的表達式后，通過構造，創造了應用均值定理的條件，“一正、二定、三相等”。