Question

【題目】如圖甲，直角梯形中， ， ，點分別在上，且， ， ，現將梯形沿折起，使平面與平面垂直（如圖乙）.

(Ⅰ)求證： 平面；

（II）當的長為何值時，二面角的大小為？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(1)建立空間直角坐標系，結合直線的方向向量和平面的一個法向量即可證得線面平行；

(2)結合空間直角坐標系探究可得時，二面角的大小為.

試題解析：

（Ⅰ）如圖建立空間直角坐標系N-xyz.

設，則A(2,0,t)，B(2，4，0)，

又易知平面DNC的一個法向量為，

由，得AB∥平面DNC.

（Ⅱ）設，則D(0,0,t)，C(0,2,0)，B(2,4,0)，故 (0,-2,t)， (2,2,0)，

設平面DBC的一個法向量為，則

取，則，即，

又易知平面BCN的一個法向量為，

，即，解得.

另解：（Ⅰ）∵MB∥NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

∴MB∥平面DNC. 同理MA∥平面DNC，

又MA∩MB＝M且MA、MB平面MAB，

∴平面MAB∥平面NCD， 又AB平面MAB，

∴AB∥平面NCD.

（Ⅱ）過N作NH⊥BC交BC延長線于H，連結DH，

∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN

∴DN⊥平面MNCB，從而DH⊥BC，

∴∠DHN為二面角D－BC－N的平面角.

由已知得， ，∴， ，

∴.