Question

（2008•黃岡模擬）已知直線x+y-1=0與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，M是線段AB上的一點，

AM

=-

BM

，且點M在直線l：y=

1

2

x上，
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦點關于直線l的對稱點在單位圓x²+y²=1上，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題中的直線方程與橢圓聯解消去y，得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，由根與系數的關系得x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，進而得到y₁+y₂=

2b2

a2+b2

，因此算出AB中點M（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

），根據點M在直線y=

1

2

x上建立關系式得到a²=2b²，由此即可算出該橢圓的離心率的值；
（2）由（1）的結論，設橢圓的一個焦點F（b，0）關于直線l：y=

1

2

x的對稱點為Q（x₀，y₀），根據PQ被直線l垂直且平分建立方程組，解之得到x₀=

3b

5

且y₀=

4b

5

，結合點Q在單位圓上，得到關于b的方程并解之得b=1，由此即可得到所求橢圓方程．

解答：解：設A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
（ 1）由

AM

=-

BM

，可得M是AB的中點，…（1分）
由

x+y-1=0 x2 a2 + y2 b2 =1

消去y，得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0…（4分）
∴x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，可得y₁+y₂=2-（x₁+x₂）=2-

2a2

a2+b2

=

2b2

a2+b2

…（5分）
因此，點M的坐標為（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

）
又∵點M在直線l：y=

1

2

x上，∴

b2

a2+b2

=

1

2

×

a2

a2+b2

…（6分）
化簡得a²=2b²=2（a²-c²），可得a=

2

c，所以橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

…（7分）
（2）由（1）得b=c，不妨設橢圓的一個焦點坐標為F（b，0）
設F（b，0）關于直線 l：y=

1

2

x的對稱點為Q（x₀，y₀），…（8分）
則

y0-0 x0-b × 1 2 =-1 x0+b 2 -2× y0  2 =0

，解之得：

x0= 3b 5 y0= 4b 5

…（11分）
結合已知x02+y02=1，可得(

3b

5

)2+(

4b

5

)2=1，解之得b=1（舍負）…（13分）
因此，所求的橢圓的方程為

x2

2

+y2=1…（14分）

點評：本題給出直線與橢圓相交，在已知截得弦的中點在定直線上時，求橢圓的方程，并依此求橢圓焦點關于定直線的對稱點在單位圓上的問題．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、點關于直線的對稱點的求法和直線與圓錐曲線位置關系等知識點，屬于中檔題．