Question

（2012•日照一模）已知f（x）=

m

•

n

，其中

.

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

.

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)（ω＞0）．若f（x）圖象中相鄰的兩條對稱軸間的距離不小于π．
（I）求ω的取值范圍；
（II）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，a=

7

，S_△ABC=

3

2

，當ω取最大值時，f（A）=1，求b，c的值．

Answer 1

分析：（I）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出f（x）的解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由f（x）圖象中相鄰的對稱軸間的距離不小于π，得到周期的一半大于等于π，即可求出ω的范圍；
（II）由ω的范圍，找出ω的最大值，代入確定出f（x）解析式，由f（A）=1，求出sin（A+

π

6

）的值，由A為三角形的內角，得出A+

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，進而確定出sinA與cosA的值，由已知的面積，利用三角形面積公式列出關系式，記作①；再由a與cosA的值，利用余弦定理列出關系式，記作②，聯立①②即可求出b與c的值．

解答：解：（I）∵

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），
∴f（x）=

m

•

n

=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+2

3

cosωxsinωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
∵f（x）圖象中相鄰的對稱軸間的距離不小于π，
∴

T

2

≥π，即

2π

4ω

≥π，
則0＜ω≤

1

2

；
（Ⅱ）當ω=

1

2

時，f（x）=2sin（x+

π

6

），
∴f（A）=2sin（A+

π

6

）=1，
∴sin（A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A=

2π

3

，
由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，得到bc=2，…①
又a²=b²+c²-2bcsinA，a=

7

，
∴b²+c²+bc=7，…②
聯立①②，
解得：b=1，c=2或b=2，c=1．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，二倍角的正弦、余弦函數公式，三角形的面積公式，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．