Question

【題目】設a為實數，函數f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.

(1)討論f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）當時， 偶函數，當時， 為非奇非偶函數；（2）.

【解析】試題分析：（1）對于函數 f（x）=x2+|x﹣a|+1，分當a=0時、和當a≠0時兩種情況，分別討論f（x）的奇偶性；

（2）當x≤a時，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+，分a＞時和a≤時兩種情況，分別求得函數f（x）的最小值．②當x＞a 時，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+，分a＞﹣時和當a≤﹣時兩種情況，分別求得函數f（x）的最小值．

解：（1）對于函數 f（x）=x2+|x﹣a|+1，

當a=0時，f（x）=x2+|x|+1為偶函數，

當a≠0時，f（x）=x2+|x|+1為非奇非偶函數．

（2）①當x≤a時，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+，

若a＞時，函數f（x）的最小值為f（）=a+；

若a≤時，函數f（x）的最小值為f（a）=a2+1．

②當x＞a 時，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+，

若a＞﹣時，函數f（x）的最小值為f（a）=a2+1；

若a≤﹣時，函數f（x）的最小值為f（﹣）=﹣a+．