Question

給出下列命題：
①如果向量

a

，

b

，

c

共面，向量

b

，

c

，

d

也共面，則向量

a

，

b

，

c

，

d

共面；
②已知直線a的方向向量

a

與平面α，若

a

∥平面α，則直線a∥平面α；
③若P、M、A、B共面，則存在唯一實數x、y使

MP

=x

MA

+y

MB

；
④對空間任意點O與不共線的三點A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x+y+z=1），則P、A、B、C四點共面； 在這四個命題中為真命題的序號有

 

．

Answer 1

分析：我們可以根據共面向量的性質對四個結論逐一進行判斷，
①令

b

 ，

c

共線，

a，

b

不共線，

a

，

d

不共線，則滿足，但

a，

b，

c

，

d

不一定共面，①不對，
②若

a

∥平面α，則直線a∥平面α或a?α，所以②也不對；
③不妨令M、A、B三點共線，點P∉AB，則不存在實數x、y滿足條件式，③錯；
④由共面向量基本定理的推論，可得④正確．

解答：解：①不妨令

b

與

c

共線，

a

與

b

不共線，

a

與

d

不共線，滿足向量

a

，

b

，

c

共面，向量

b

，

c

，

d

也共面，但向量

a

，

b

，

c

，

d

不一定共面，故①不正確；
    ②若

a

∥平面α，則直線a∥平面α或a?α，故②不正確；
    ③不妨令M、A、B三點共線，點P∉AB，則不存在實數x、y使

MP

=x

MA

+y

MB

，故③不正確；
　　④∵三點A、B、C不共線，

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，x+y+z=1，
∴

OP

=x

OA

+y

OB

+（1-x-y）

OC

=x(

OA

-

OC

)  +y(

OB

-

OC

)  +

OC

=

xCA

+

yCB

+

OC

，∴

OP

-

OC

=x

CA

+y

CB

      即

CP

=x

CA

+y

CB

，由共面向量基本定理知，P、A、B、C四點共面，故④正確．
   故答案為：④

點評：本題考查空間向量中的概念，共面向量基本定理及推論，解決的主要方法是特例法與轉化思想的靈活運用．