Question

【題目】已知函數f（x）＝ax﹣cosx，a≠0．

（1）若函數f（x）為單調函數，求a的取值范圍；

（2）若x∈[0，2π]，求：當a≥時，函數f（x）僅有一個零點．

Answer 1

【答案】（1）或（2）詳見解析

【解析】

（1）首先求函數的導數，，當函數單調遞增時恒成立，當函數單調遞減時，恒成立；（2）根據（1）可知當時，函數單調遞增，根據零點存在性定理可知只有一個交點，當時，可得函數存在兩個極值點，，根據單調性可判斷，是極大值，是極小值，因為，，若函數只有一個零點，只需滿足，即可求得的取值范圍.

（1）解：由，可得,.

因為，

所以當時，，為上的單調增函數；

當時，，為上的單調減函數.

綜上，若函數為單調函數，則或.

（2）證明：當時，由（1）可知為上的單調增函數.

又，

所以函數在有且僅有一個零點，滿足題意.

當時，

令，則.由于，所以，

從而必有，，使，且.

不妨設，且有，，

所以當時，，為增函數；

當時，，為減函數；

當時，，為增函數.

從而函數的極大值為，極小值為.

因為，所以，從而極大值.

又，

要使函數僅有一個零點，則極小值，

所以，即.

又，，

所以當時，函數僅有一個零點.