Question

已知圓x²＋y²＝8，定點P(4，0)，問過P點的直線的斜率在什么范圍內取值時，這條直線與已知圓：(1)相切，(2)相交，(3)相離？并寫出過P點的切線方程．

Answer 1

答案：
解析：

[解法一]設過P點的直線的斜率為k(由已知k存在)，則其方程為y＝k(x－4) 　　由消去y，得x2＋k2(x－4)2＝8， 　　即(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0， 　　Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)． 　　(1)令Δ＝0，即32(1－k2)＝0， 　　∴當k＝±1時，直線與圓相切，切線方程為x－y－4＝0或x＋y－4＝0． 　　(2)令Δ＞0，即32(1－k2)＞0　－1＜k＜1， 　　∴當－1＜k＜1時，直線與圓相交． 　　(3)令Δ＜0，即32(1－k2)＜0　k＞1或k＜－1， 　　∴當k＜－1或k＞1時，直線與圓相離． 　　 　　探究：①判斷直線Ax＋By＋C＝0和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置關系可由得mx2＋nx＋p＝0，利用判別式Δ： 　　當Δ＝0時相切；當Δ＞0時相交；當Δ＜0時相離． 　　②已知直線Ax＋By＋C＝0和圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2圓心到直線的距離． 　　相交d＜r；相切d＝r；相離d＞r．

提示：

解決直線與圓的位置關系，幾何法比代數法簡單．