Question

（2006•嘉定區二模）已知f（x）是定義在R上的函數，且滿足f（x+2）+f（x+2）f（x）+f（x）=1，f（1）=

1

2

，f（2）=

1

4

，則f（2006）=

1

4

．

Answer 1

分析：這種題一般來說都是周期函數，可以通過算出幾組來找出規律．將f（1）代入題目中的式子，可以得到f（3）的值，依次算下去，得到的結果為：

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，這個函數是以4為周期的．再用2006除以4余2，因此，f（2006）=f（2）．

解答：解：f （x）是定義在R上的函數，且滿足f（x+2）+f（x+2）f（x）+f（x）=1，
f（1）=

1

2

，f（2）=

1

4

，將f（1），f（2）代入題目中的式子，
可以得f（3）=

1

3

，f（4）=

3

5

，…
依次算下去，得到的結果為：

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，
所以，這個函數是以4為周期的．再用2006除以4余2，
因此，f（2006）=f（2）=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點評：本小題主要考查函數的值、函數的值的應用等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．