Question

設數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且數列{a_n+1-a_n}（n∈N⁺）是等差數列，數列{b_n-2}（n∈N₊）是等比數列．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）是否存在k∈N⁺，使ak-bk∈(0，

1

2

)，若存在，求出k，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出等差數列的公差，再利用a_n+1-a_n=（a₂-a₁）+（n-1）×1=n-3，表示出a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₁）+…+（a_n-a_n-1）即可求出數列{a_n}的通項公式；
同樣先求出等比數列的公比，再利用bn-2=(b1-2)(

1

2

)n-1=4×(

1

2

)n-1即可求{b_n}的通項公式；
（2）先求出f（k）=a_k-b_k的表達式，并找到其單調區間的分界點，求出其函數值的范圍即可得出結論．

解答：解：（1）由已知a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1
得公差d=-1-（-2）=1
所以a_n+1-a_n=（a₂-a₁）+（n-1）×1=n-3
故a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=6+（-2）+（-1）+0+…+（n-4）
=6+

[(-2)+(n-4)](n-1)

2

=

n2-7n+18

2

由已知b₁-2=4，b₂-2=2所以公比q=

1

2

所以bn-2=(b1-2)(

1

2

)n-1=4×(

1

2

)n-1．
故bn=2+8×(

1

2

)n
（2）設f（k）=a_k-b_k=(

1

2

k2-

7

2

k+9)-[2+8×(

1

2

)k]
=

1

2

[(k-

7

2

)2-

49

4

]-8×(

1

2

)k+7
所以當k≥4時，f（k）是增函數．
又f(4)=

1

2

，所以當k≥4時f(k)≥

1

2

，
而f（1）=f（2）=f（3）=0，所以不存在k，使f(k)∈(0，

1

2

)．

點評：本題主要考查等差數列與等比數列的基礎知識及其應用．是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題目．