Question

【題目】“禿發”是一種常見的毛發疾病，隨著發病人群年齡結構的年變化，逐漸引起了社會的廣泛關注.一個人出生時頭發數量約為100000根，數學徐老師建立了“禿發”函數模型作預估：一個人歲時的頭發根數為，其中稱為“脫發指數”.

（1）杜老師5歲時有74375根頭發，請依據模型求出杜老師的“脫發指數”的值；

（2）徐老師的學生認為“禿發”函數模型中有兩個缺點：①頭發的根數應該為整數；②頭發的根數不能為負數，徐老師感覺很有道理，將模型作了兩處修正，請寫出修正后（1）問中杜老師的“禿發”函數模型，并求出杜老師幾歲時頭發最多.

Answer 1

【答案】（1）；（2），杜老師4歲時頭發最多.

【解析】

（1）將代入求解即可求出的值；

（2）引入求整數的符號，且將函數寫成分段函數的形式，當函數值為負數時變為常數0即可，最后結合基本不等式求出即可.

（1）依題意，當時，，

解得，，所以，杜老師的“脫發指數”的值為3125；

（2）依題意可得，，

其中表示不超過x的最大整數，

由，

當且僅當時，等號成立，此時，.

即杜老師4歲時頭發最多.