Question

某廠家擬在2010年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與促銷費用萬元（）滿足（為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件。已知2010年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品的年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）。
（1）將2010年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；
（2）該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

解：（1）由題意知，當m=0時，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=……2分
每件產品的銷售價格為1.5× （萬元），…………3分
∴利潤函數y=x[1.5× ]-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8（3- ）-m
="-[" +（m+1）]+29（m≥0）．………………7分
（2）因為利潤函數y="-[" +（m+1）]+29（m≥0），
所以，當m≥0時， +（m+1）≥2 =8，…………11分
∴y≤-8+29=21，當且僅當 =m+1，即m=3（萬元）時，ymax=21（萬元）．……13分
所以，該廠家2010年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元

略