Question

（本小題滿分12分）

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合于B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐(如圖所示)．

   

（Ⅰ）在三棱錐上標(biāo)注出、點(diǎn)，并判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；

（Ⅱ）是線段上一點(diǎn)，且, 問是否存在點(diǎn)使得,若存在，求出的值;若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是的一條中位線； 詳見解析。

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)；

（Ⅲ）．

【解析】本試題是一個(gè)折疊圖的運(yùn)用。折疊圖要關(guān)注不變量，然后利用空間的線面的位置關(guān)系判定線面平行和線面垂直問題，然后求解錐體的體積的運(yùn)算的綜合運(yùn)用。

（1）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是的一條中位線，且，利用線面平行的判定定理得到結(jié)論。

（2）假設(shè)存在點(diǎn)G點(diǎn)使得AB垂直于平面EFG，那么先猜想,然后利用猜想證明得到結(jié)論。

（3）要求錐體的體積，要分析已知中的高，即線面垂直的性質(zhì)定理的運(yùn)用。

解：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是的一條中位線，如圖所示.

則                       ………………2分

證明如下： ．…4分

（Ⅱ）存在點(diǎn)使得，此時(shí)

      因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415420272796322/SYS201208241542375890860467_DA.files/image011.png">面EBF

      又是線段上一點(diǎn)，且,

      ∴ 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)           ………………8分

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415420272796322/SYS201208241542375890860467_DA.files/image014.png">

且，

∴，            ………………………………………9分

又　                    ………………………………11分

∴．                          …………………………………12分