Question

已知實數x、y滿足方程x²+y²－4x+1=0.求
（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x²+y²的最大值和最小值.

Answer 1

（1）k_max=，k_min=－.   （2）（y－x）_min=－2－.
（3）2－

（1）如圖，方程x²+y²－4x+1=0表示以點（2，0）為圓心，以為半徑的圓.

設=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k²=3.所以k_max=，k_min=－.
（也可由平面幾何知識，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直線OP的傾斜角為60°，直線OP′的傾斜角為120°解之）
（2）設y－x=b，則y=x+b，僅當直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值.由點到直線的距離公式，得
=，即b=－2±，故（y－x）_min=－2－.
（3）x²+y²是圓上點與原點距離之平方，故連結OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，則（x²+y²）_max=｜OC′｜=2+，（x²+y²）_min=｜OB｜=2－.