Question

已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為6，側(cè)棱長為

13

．有一動點M在側(cè)面PAB內(nèi)，它到頂點P的距離與到底面ABC的距離比為2

2

：1．

（1）求動點M到頂點P 的距離與它到邊AB的距離之比；
（2）在側(cè)面PAB所在平面內(nèi)建立為如圖所示的直角坐標(biāo)系，求動點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）作PO⊥底面ABC于O點，則O為△ABC的中心，連接CO并延長交AB于D，連PD，則∠PDC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，作MN⊥底面于N，作NQ⊥AB于Q，連MQ，則∠MQN為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，從而MQ=2MN，即可求出M到頂點P的距離與它到邊AB的距離之比．
（2）設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)

|PM|

|MQ|

=

2

建立等式關(guān)系，求出點M的軌跡，然后求出x和y的范圍，從而求出所求．

解答：解：

（1）作PO⊥底面ABC于O點，則O為△ABC的中心，連接CO并延長交AB于D，連PD，則∠PDC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．∵AB=6，∴DO=

3

 ， PD=

PB2-BD2

=2∴∠PDO=30°----------------------------4′
作MN⊥底面于N，作NQ⊥AB于Q，連MQ，則∠MQN為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，∴∠MQN=30°．
于是，MQ=2MN，有題意

PM

MN

=2

2

：1，∴

PM

MQ

=

2

：1
即M到頂點P的距離與它到邊AB的距離之比為

2

：1---------------------------8′
（2）設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，y），由

|PM|

|MQ|

=

2

，P（0，2）得：

x2+(y-2)2

|y|

=

2

，化簡得：x²-y²-4y+4=0------12′
直線PB的方程為

x

3

+

y

2

=1，由

x2-y2-4y+4=0 x 3 + y 2 =1

，解得x=

-24+6 26

5

綜上，M點的軌跡方程為x²-y²-4y+4=0(

24-6 26

5

≤x≤

-24+6 26

5

，y＞0)-----------------------14′

點評：本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及軌跡方程，同時考查了計算能力和推理論證的能力，屬于中檔題．