Question

【題目】設拋物線的準線與軸的交點為,過作直線交拋物線于兩點.

（1）求線段中點的軌跡；

(2)若線段的垂直平分線交對稱軸于),求的取值范圍；

(3)若直線的斜率依次取時,線段的垂直平分線與對稱軸的交點依次為

，當時，

求： 的值.

Answer 1

【答案】(1) 拋物線位于直線右方的兩段拋物線弧.

(2) .

(3) .

【解析】

（1）設直線：，聯立，利用韋達定理求解的中點為，求解軌跡方程，得到軌跡為該拋物線位于直線右方的兩段拋物線弧；（2）設的中點為，求出線段的垂直平分線的方程，然后求解；（3）求出中點的橫坐標，求出點的橫坐標，通過數列為一無窮遞縮等比數列，求解所有項的和．

(1)設直線,聯立，

得： ，

由且得到: .

設的中點為,則，

消去得, .

實際軌跡為該拋物線位于直線右方的兩段拋物線弧.

(2)設的中點為，

則線段的垂直平分線的方程為: .

令,得 ，

由，得.

(3) 由(1)知中點的橫坐標，.

則當時,點的橫坐標，

同理的橫坐標，，.

數列為一無窮遞縮等比列，所有項的和為.