Question

【題目】在極坐標系中，點M的坐標為，曲線C的方程為；以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為的直線l經過點M．

(I)求直線l和曲線C的直角坐標方程：

(II)若P為曲線C上任意一點，直線l和曲線C相交于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）直線方程為y=﹣x+3，曲線C的直角坐標方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）

【解析】試題分析：（1）根據極坐標和直角坐標的互化公式得到直線方程為y=﹣x+3，曲線C的直角坐標方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）由圖像的到圓上的點到直線L的距離最大值為，再計算弦長即三角形的底邊長，進而得到面積。

解析：

（1）∵在極坐標系中，點M的坐標為，

∴x=3cos=0，y=3sin=3，

∴點M的直角坐標為（0，3），

∴直線方程為y=﹣x+3，

由，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，

∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2﹣2x﹣2y=0，

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

（2）圓心（1，1）到直線y=﹣x+3的距離，

∴圓上的點到直線L的距離最大值為，

而弦

∴△PAB面積的最大值為。