Question

設F₁、F₂分別為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，A為雙曲線的左頂點，以F₁F₂為直徑的圓交雙曲線某條漸過線于M，N兩點，且滿足∠MAN=120°，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  21

  3

• B、

  19

  3

• C、

  2

  3

• D、

  7 3

  3

Answer 1

分析：先求出M，N的坐標，再利用余弦定理，求出a，c之間的關系，即可得出雙曲線的離心率．

解答：解：不妨設圓與y=

b

a

x相交且點M的坐標為（x₀，y₀）（x₀＞0），則N點的坐標為（-x₀，-y₀），
聯立y₀=

b

a

x₀，x02+y02=c2得M（a，b），N（-a，-b），
又A（-a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c²=（a+a）²+b²+b²-2

(a+a)2+b2

•bcos 120°，
化簡得7a²=3c²，求得e=

21

3

．
故選A．

點評：本題主要考查雙曲線的離心率．解決本題的關鍵在于求出a，c的關系．