Question

【題目】設函數

（1）求的單調區間；

（2）若為整數，且當時， 恒成立，其中為的導函數，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，lna）單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增（2）2

【解析】試題分析：（1）先求導數，根據a的大小討論導函數是否變號：若a≤0，導函數恒非負，為單調增區間；若a＞0，導函數符號變化，先負后正，對應先減后增（2）分類變量得 ，再利用導數求最小值：在極小值點取最小值，根據極值定義得 及零點存在定理確定范圍 ，化簡最小值為，并確定其范圍為（2,3） ，因此可得正整數的最大值.

試題解析：（1）函數f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f′（x）=ex-a，

若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0，所以函數f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上單調遞增

若a＞0，則當x∈（-∞，lna）時，f′（x）=ex-a＜0；

當x∈（lna，+∞）時，f′（x）=ex-a＞0；

所以，f（x）在（-∞，lna）單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增

（2）由于a=1，

令，，

令，在單調遞增，

且在上存在唯一零點，設此零點為，則

當時，，當時，

，

由，又

所以的最大值為2