Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，直線，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點，設點的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）以曲線上的點為切點做曲線的切線，設分別與、軸交于兩點，且恰與以定點為圓心的圓相切.當圓的面積最小時，求與面積的比．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】分析：（I）由，根據拋物線的定義，點的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線，即可求得拋物線方程；（II）求直線的斜率，解法一，聯立直線的方程與拋物線的方程，根據，即可求得直線的斜率；解法二，當時，，求導，即可求得切線斜率，然后利用點斜式方程即可求得切線方程，取得和點坐標，利用點到直線的距離公式，根據基本不等式的性質，當時，滿足題意的圓的面積最小，求得和點坐標，利用三角形的面積公式即可求得△與△面積的比．

詳解：（Ⅰ）由題意得，

點到直線的距離等于它到定點的距離，

點的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線，

點的軌跡的方程為

（Ⅱ）解法一：由題意知切線的斜率必然存在，設為，則 ．

由 ，得，即，由，得到．

∴，

解法二：由，當時，.

以為切點的切線的斜率為

以為切點的切線為，即，整理.

令則.

令則.

點到切線的距離(當且僅當時，取等號)．

∴ 當時，滿足題意的圓的面積最小．

∴，．

∴，．

∴．

△與△面積之比為．