Question

已知圓C過點（11，0），且與圓x²+y²=25外切于點（3，4）．
（1）求兩個圓的內公切線的方程（如果兩個圓位于公切線的異側，則這條公切線叫做兩個圓的內公切線）；
（2）求圓C的方程．

Answer 1

（1）∵切點M（3，4），則由題意可得，兩個圓的內公切線經過點M，且和OM垂直．
∵K_OM=

4-0

3-0

=

4

3

∴兩個圓的內公切線的斜率為-

3

4

，故兩個圓的內公切線方程為 y-4=-

3

4

（x-3），
化簡可得 3x+4y-25=0．
（2）設A（11，0），切點M（3，4），∵圓x²+y²=25的圓心為原點O，圓C和它相外切，
再根據兩個圓的圓心連線經過切點，∴可用點斜式求得直線MC（即直線MO）的方程是 4x+3y=0．
由于線段AM的中點為（7，2），AM的斜率為-

1

2

，故AM的中垂線的斜率為2，用點斜式求得線段AM的中垂線方程是 y=2x-12．
解方程組

4x+3y=0 y=2x-12

，求得C點坐標（18，24），半徑的平方為r²=|AC|²=625，
故圓C方程是（x-18）²+（y-24）²=625．