Question

如圖，四邊形OABC為矩形，點A、C的坐標分別為（a+1，0）（a＞1）、（0，1），點D在OA上，坐標為（a，0），橢圓C分別以OD、OC為長、短半軸，CD是橢圓在矩形內部的橢圓弧．已知直線l：y=-x+m與橢圓弧相切，且與AD相交于點E．
（Ⅰ）當m=2時，求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）圓M在矩形內部，且與l和線段EA都相切，若直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，求圓M面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+y2=1．由

x2 a2 +y2=1 y=-x+m

得（1+a²）x²-2a²mx+a²（m²-1）=0．由于直線l與橢圓相切，知△=（2a²m）²-4（1+a²）a²（m²-1）=0，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中點為(

a+1

2

，  

1

2

)．因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點(

a+1

2

，  

1

2

)，由此入手，能夠求出圓M面積的最大值．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+y2=1．k•s5•u
由

x2 a2 +y2=1 y=-x+m

消去y得（1+a²）x²-2a²mx+a²（m²-1）=0．（3分）
由于直線l與橢圓相切，∴△=（2a²m）²-4（1+a²）a²（m²-1）=0，
化簡得m²-a²=1，①
當m=2時，a²=3，
則橢圓C的標準方程為

x2

3

+y2=1．（6分）
（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中點為(

a+1

2

，  

1

2

)．
因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點(

a+1

2

，  

1

2

)，
即

1

2

=

-(a+1)

2

+m，亦即2m-a=2．②
由①②解得a=

4

3

，  m=

5

3

，故直線l的方程為y=-x+

5

3

．（9分）
∴E(

5

3

，  0)，  A(

7

3

，  0)．
因為圓M與線段EA相切，所以可設其方程為（x-x₀）²+（y-r）²=r²（r＞0）．
因為圓M在矩形及其內部，所以

0＜r≤ 1 2 x0＞ 5 3   x0+r≤ 7 3 ．

④
圓M與l相切，且圓M在l上方，所以

3(x0+r)-5

3 2

=r，即3(x0+r)=5+3

2

r．
代入④得

0＜r≤ 1 2 5+3( 2 -1)r 3 ＞ 5 3        5+3 2 r 3 ≤ 7 3 ，

即0＜r≤

2

3

．
所以圓M面積最大時，r=

2

3

，這時，圓M面積的最大值為

2π

9

．（15分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．