Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若存在，對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）.

【解析】

（1）求導，對參數進行分類討論，求得不同情況下的單調性即可；

（2）根據題意構造函數，將問題轉化為求解該函數最大值的問題，進而利用導數研究其單調性求得結果即可.

（1）.

令，則，

當時，在上，，在上，，

∴的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

當時，在上，，在上，，

∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由，得，即.

設，則恒成立，即.

，

因為，則在上，，在上，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減.

∴.

存在，使得成立，則.

令，，

∴在上，，在上，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增.

∴.

∴的取值范圍為.