Question

已知函數f(x) = lg

1-x

1+x

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求該函數的反函數f^-1（x）；
（3）判斷f^-1（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由 

1-x

1+x

＞0 解得-1＜x＜1，即得函數的定義域．
（2）由函數的解析式求出自變量，再把自變量和函數交換位置，即得反函數的解析式，注明反函數的定義域．
（3）由f^-1（-x）=

1-10-x

1+10-x

=

10x-1

1+10x

=-f^-1（x），可得 f^-1（x）是奇函數．

解答：解：（1）由  

1-x

1+x

＞0，  得-1＜x＜1．
故函數的定義域是（-1，1）
（2）由y= lg

1-x

1+x

，得10y= 

1-x

1+x

（y∈R），
所以x=

1-10y

1+10y

，
所求反函數為f^-1（x）=

1-10x

1+10x

（x∈R）．
（3）f^-1（-x）=

1-10-x

1+10-x

=

10x-1

1+10x

=-f^-1（x），
所以f^-1（x）是奇函數．

點評：本題主要考查求函數定義域、反函數，及利用f（x）=-f（-x）或f（x）=f（-x）證明函數奇偶性．