Question

【題目】已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分別是橢圓G： + =1（0＜b＜a＜3）的左、右焦點，點P（2， ）是橢圓G上一點，且|PF1|﹣|PF2|=a．
（1）求橢圓G的方程；
（2）設直線l與橢圓G相交于A、B兩點，若 ⊥ ，其中O為坐標原點，判斷O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓的定義可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．

∴丨PF1丨= a=3|PF2|，

則 =3 ，化簡得：c2﹣5c+6=0，

由c＜a＜3，

∴c=2，

則丨PF1丨=3 = a，則a=2 ，

b2=a2﹣c2=4，

∴橢圓的標準方程為： ；

（2）解：由題意可知，直線l不過原點，設A（x1，x2），B（x2，y2），

①當直線l⊥x軸，直線l的方程x=m，（m≠0），且﹣2 ＜m＜2 ，

則x1=m，y1= ，x2=m，y2=﹣ ，

由 ⊥ ，

∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣ ）=0，

解得：m=± ，

故直線l的方程為x=± ，

∴原點O到直線l的距離d= ，

②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+n，

則 ，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

則y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2= ，

由 ⊥ ，

∴x1x2+y1y2=0，故 + =0，

整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①

則原點O到直線l的距離d= ，

∴d2=（ ）2= = ，②

將①代入②，則d2= = ，

∴d= ，

綜上可知：點O到直線l的距離為定值 ．

【解析】（1）根據橢圓的定義，求得丨PF1丨= a=3|PF2|，根據點到直線的距離公式，即可求得c的值，則求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；（2）當直線l⊥x軸，將直線x=m代入橢圓方程，求得A和B點坐標，由向量數量積的坐標運算，即可求得m的值，求得O到直線l的距離；當直線AB的斜率存在時，設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數量積的坐標運算，點到直線的距離公式，即可求得O到直線l的距離為定值．