Question

已知函數f（x）=ax²-2bx+a（a，b∈R）
（1）若a從集合{0，1，2，3}中任取一個元素，b從集合{0，1，2，3}中任取一個元素，求方程f（x）=0恰有兩個不相等實根的概率；
（2）若b從區間[0，2]中任取一個數，a從區間[0，3]中任取一個數，求方程f（x）=0沒有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）先確定a、b取值的所有情況得到共有16種情況，又因為方程有兩個不相等的根，所以根的判別式大于零得到a＞b，而a＞b占6種情況，所以方程f（x）=0有兩個不相等實根的概率P=0.5；
（2）由a從區間[0，2]中任取一個數，b從區間[0，3]中任取一個數得試驗的全部結果構成區域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0沒有實根構成的區域為M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分別求出兩個區域面積即可得到概率．

解答：解：（1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素，
b取集合{0，1，2，3}中任一元素
∴a、b的取值情況的基本事件總數為16．
設“方程f（x）=0有兩個不相等的實根”為事件A，
當a≥0，b≥0時方程f（x）=0有兩個不相等實根的充要條件為b＞a，且a≠0．
當b＞a時，a的取值有（1，2）（1，3）（2，3）
即A包含的基本事件數為3．
∴方程f（x）=0有兩個不相等的實根的概率P（A）=

3

16

；
（2）∵b從區間[0，2]中任取一個數，a從區間[0，3]中任取一個數
則試驗的全部結果構成區域Ω={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3}這是一個矩形區域，其面積S_Ω=2×3=6
設“方程f（x）=0沒有實根”為事件B，
則事件B構成的區域為M={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3，a＞b}，
其面積S_M=6-

1

2

×2×2=4，
由幾何概型的概率計算公式可得方程f（x）=0沒有實根的概率P（B）=

S   M

SΩ

=

4

6

=

2

3

．

點評：本題以一元二次方程的根為載體，考查古典概型和幾何概型，屬基礎題．