Question

（14分）如圖，四棱錐P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側面PAB
是等邊三角形，且側面PAB⊥底面ABCD
（I）證明：側面PAB⊥側面PBC；
（II）求側棱PC與底面ABCD所成的角；
（III）求直線AB與平面PCD的距離．

Answer 1

（I）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD側面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥側面PAB
又∵BC側面PBC
∴側面PAB⊥側面PBC）
（II）解：取AB中點E，連結PE、CE

又∵△PAB是等邊三角形
∴PE⊥AB
又∵側面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE為側棱PC與底面ABCD所成角

在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD
∵CD側面PCD，AB側面PCD，∴AB//側面PCD
取CD中點F，連EF、PF，則EF⊥AB
又∵PE⊥AB 
∴AB⊥平面PEF
又∵AB//CD
∴CD⊥平面PEF
∴平面PCD⊥平面PEF
作EG⊥PF，垂足為G，則EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=為所求

解析