Question

（I）已知橢圓C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，設斜率為k的直線l，交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為M．證明：當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的橢圓幾何性質，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標出橢圓的中心．

Answer 1

分析：（I）設直線l的方程為y=kx+m且橢圓C的交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線方程和橢圓方程聯立進而可得x₁+x₂和y₁+y₂的表達式，進而可得AB中點M的坐標進而可判定AB的中點M在過原點的直線b²x+a²ky=0上．
（II）作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A₁、B₁和C₁、D₁，并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點M₁、N₁，連接直線M₁N₁，那么直線MN和M₁N₁的交點O即為橢圓中心．

解答：解：（I）設直線l的方程為y=kx+m，與橢圓C的交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則有

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，解得 （b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，
∵△＞0，∴m²＜b²+a²k²，即 -

b2+a2k2

＜m＜

b2+a2k2

．
則 x1+x2=-

2a2km

b2+a2k2

，y1+y2=kx1+m+kx2+m=

2b2m

b2+a2k2

，
∴AB中點M的坐標為(-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

)．
∴線段AB的中點M在過原點的直線 b²x+a²ky=0上．…（8分）
另解：也可以用點差法先求出

y0

x0

=-

b2

a2k

（其中（x₀，y₀）為AB的中點M的坐標），因此線段AB的中點M在過原點的直線 b²x+a²ky=0上．
（Ⅱ）如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A₁、B₁和C₁、D₁，并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點M₁、N₁，連接直線M₁N₁，那么直線MN和M₁N₁的交點O即為橢圓中心．…（14分）

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．綜合考查了學生對橢圓性質和利用韋達定理來解決橢圓與直線問題的掌握．